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拓樸學超入門：從克萊茵瓶到宇宙的形狀
序
第 1 章 拓樸學是什麼？
「相同形狀」是什麼情況？
1-1 「相同形狀」是什麼？
1-2 位相的「相」是什麼？
1-3 「同胚」是什麼圖形？
1-4 位相的「位」是什麼？
1-5 百年無人能解的龐加萊猜想終得證明！
Column 1 簡圖、路線圖是我們身邊常見的拓樸學
第 2 章 簡圖是什麼？
是否能「一筆畫」完成？
2-1 「柯尼斯堡七橋」問題
2-2 「歐拉圖形」是什麼？
2-3 歐拉圖形的條件
2-4 「漢密頓圖形」是什麼？
2-5 拓樸學的語源與發展
Column 2 「博羅梅安環」能否一筆畫完不重覆？
第 3 章 認識拓樸不變量
圖形區別的工具
3-1 「歐幾里得空間」是什麼？
3-2 「圖形」是什麼？
3-3 「拓樸不變量」是什麼？
3-4 「成分數」與「維度」是拓樸不變量
3-5 計算歐拉示性數的「三角形分割」是什麼？
3-6 「單元分割」求歐拉示性數
3-7 「正多面體」的歐拉示性數
3-8 「T1、T2」的歐拉示性數
Column 3 「三菱形」能否一筆畫完不重覆？
第 4 章 映射是什麼？
理解拓樸學，不可不知「連續映射」
4-1 「映射」是集合到集合的對應
4-2 「連續映射」是什麼？
4-3 「同胚映射」是什麼？
4-4 舉例說明「同胚映射」
4-5 合痕形變與同倫形變
4-6 稱為「德恩扭轉」的同胚映射
Column 4 「定點定理」是什麼？
第 5 章 流形是什麼？
二維流形是指曲面
5-1 「流形」是什麼圖形？
5-2 在流形上畫「座標」
5-3 「有邊界的流形」是有盡頭的圖形
5-4 「開流形」與「閉流形」的區別
5-5 「有邊界流形」的例子
5-6 閉曲面的「展開圖」是什麼？
5-7 眼睛看不見，但可用展開圖表示的「射影平面」
5-8 曲面內側跑到外側的「克萊因瓶」
5-9 流形的「方向」
5-10 以「莫比烏斯帶」數量分類的「不可定向閉曲面」
5-11 「不可定向閉曲面」的「歐拉示性數」
Column 5 DNA、基因重組酶具有拓樸性質嗎？
第 6 章 嵌入圖形與浸入圖形
探討空間中的圖形
6-1 「正則射影圖」是什麼？
6-2 交叉交換轉為平凡扭結
6-3 四維空間中的扭結
6-4 「嵌入」是什麼？
6-5 扭結為邊界的「塞弗特曲面」
6-6 「扭結的虧格」是「扭結的不變量」
6-7 「浸入」是什麼？
6-8 「以扭結為邊界的曲面」浸入圖形
6-9 「射影平面」浸入圖形
6-10 四維空間中的「克萊因瓶」會是什麼模樣？
Column 6 三維空間的射影平面是什麼形狀？
第 7 章 認識基本群
探討「封閉繩子＝環路」
7-1 從繩子能否收回，認識曲面的形狀
7-2 能夠縮成一點就是「單連通」
7-3 「同倫環路」是什麼？①
7-4 「同倫環路」是什麼？②
7-5 「基本群」是什麼？
7-6 「生成元」是什麼？
7-7 「圓周」的基本群
7-8 「環面」的基本群
Column 7 架橋遊戲
第 8 章 扭結的不變量
不變動也知道是否等價
8-1 判斷兩扭結是否等價的「扭結不變量」
8-2 三種變形「萊德邁斯特移動」
8-3 「三色性」是扭結不變量
8-4 「聯立方程式」判斷是否具有三色性
8-5 「消除扭結的最小操作數」是扭結不變量
Column 8 什麼是「複雜網路」？
第 9 章 曲面幾何
三種曲率
9-1 彎曲狀態相同的「齊性流形」
9-2 「曲率」表示「曲線」的彎曲狀態
9-3 「高斯曲率」表示「曲面」彎曲狀態
9-4 圓柱、圓錐的高斯曲率為0？
9-5 平坦環面的曲率為0
9-6 「球面」與「射影平面」具有橢圓幾何結構
9-7 「雙人游泳圈」具有雙曲幾何結構 .
9-8 「球面三角形」內角和大於180°
9-9 高斯－博內公式①──橢圓幾何結構
9-10 高斯－博內公式②──歐幾里得幾何結構
9-11 高斯－博內公式③──雙曲幾何結構
9-12 閉曲面曲率與歐拉示性數的關係
Column 9 簡圖的「複雜度」是什麼？
第 1 0 章 宇宙是什麼形狀？
可能的形狀有哪些？
10-1 宇宙的形狀是「三維流形」嗎？
10-2 一維球面與二維球面
10-3 三維球面──橢圓幾何結構
10-4 三環面──歐幾里得幾何結構
10-5 K 2 ×S 1 ──歐幾里得幾何結構
10-6 透鏡空間──橢圓幾何結構
10-7 龐加萊十二面體空間──橢圓幾何結構
10-8 塞弗特－韋伯空間──雙曲幾何結構
10-9 積與束
10-10 幾何化猜想
英日文參考文獻
索引
书名简译 : 拓朴学超入门：从克莱茵瓶到宇宙的形状
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